高校「数学」数列の解説記事一覧

高校「数学」の数列に関する解説記事の一覧です。他分野である極限や場合の数・確率、複素数平面などの分野においても数列やΣに関する内容があります。参考にしてください。

まとめ

他の解説記事で解説している事項をまとめたものです。主に復習に使うことを想定しています。

・数列の用語一覧と英訳
・公式と解法の要点まとめ
・漸化式のパターン表

高校レベル

最難関大を含む大学入試や数学オリンピック予選標準レベルの問題を解く上で必要となる数学的知識や数学的発想に関する解説です。

数列の基礎知識

・数列分野の全体像
・数列の基礎用語
・一般項の推測
・具体的な項の推測
・数列の数学史

等差数列

・等差数列の一般項
・等差数列であることの証明
・等差数列をなす3数（等差中項）
・調和数列とその一般項
・調和平均
・等差数列の和
・等差数列の利用（倍数の和）
・等差数列の和の最大
・既約分数の和
・等差数列の共通項

等比数列

・等比数列の一般項
・等比数列をなす3数（等比中項）
・等差数列と等比数列
・等比数列の和
・和から等比数列の決定
・等差数列と等比数列の共通項
・複利計算
・等比数列と対数
・正の約数の和

いろいろな数列

・Σの計算
・一般項を求めて和の公式利用
・第k項にnを含む数列の和
・階差数列（第1階差）
・階差数列（第2階差）
・数列の和と一般項，部分数列
・分数の数列の和（部分分数分解）
・分数の数列の和の応用
・（等差）×（等比）型の数列の和
・（多項式）×（等比）型の数列の和
・異なる2項の積の和
・S_2m，S_(2m-1)に分けて和を求める
・並べ替えた数列
・格子点の個数
・群数列の基本
・群数列（分数の数列）
・数表と群数列

漸化式と数列

・等差数列・等比数列・階差数列と漸化式
・a_(n+1)=pa_n+q型の漸化式
・a_(n+1)=pa_n+(nの1次式)型の漸化式
・a_(n+1)=pa_n+q^n型の漸化式
・a_(n+1)=pa_n+f(n)型の漸化式
・a_(n+1)=pa_n+q_n型の漸化式
・a_(n+1)=f(n)a_n型の漸化式
・・a_(n+1)=p(a_n)^q型の漸化式
・積や累乗のみの漸化式(対数利用)
・a_(n+1)=f(n)a_n+q 型の漸化式
・特殊な漸化式
・分数形の漸化式
・隣接3項間の漸化式
・フィボナッチ数列の一般項
・連立漸化式
・和Snと漸化式
・偶奇で式が異なる漸化式の扱い

漸化式の応用

・図形と漸化式（相似な図形）
・図形と漸化式（領域の個数）
・場合の数と漸化式
・無理数のn乗と漸化式
・確率と漸化式（a_(n+1)=pa_n+q 型）
・確率と漸化式（3項間）
・確率と漸化式（a_n+b_n+c_n=1の利用）
・巴戦の確率
・二次方程式と漸化式
・漸化式とユークリッドの互助法

数学的帰納法

・等式の証明
・整数の性質の証明
・不等式の証明
・大小比較と数学的帰納法
・漸化式と数学的帰納法
・a_nの推測と数学的帰納法
・n=k，k+1の仮定
・n≦k の仮定
・無限降下法

数学的帰納法の具体例

・フェルマーの小定理に関する証明
・2^nとn^2の比較
・立方の和と和の平方が等しい数列

発展レベル

数学好きな高校生や東大理3、京医を目指す受験生、数学オリンピック本選以上を目指す（中学生・）高校生、数学科教員を対象とした解説記事です。教科書レベルの高校数学（数3Cまで）が既習であることを前提としています。

・特性方程式について
・Σ記法の応用
・Π、∪、∩の記法
・4乗和、5乗和の公式
・ベルヌーイ数
・n乗和の公式（ファウルバーハーの公式）
・n乗和の公式の性質
・数列と母関数
・ロジスティック写像に関する漸化式
・等差中項、等比中項の応用
・telescoping sumの応用
・連分数展開
・近似分数
・n! の多項間漸化式
・6つの係数について
・6つの係数（終価係数）
・6つの係数（現価係数）
・6つの係数（年金現価係数）
・6つの係数（年金終価係数）
・6つの係数（資本回収係数）
・6つの係数（減債基金係数）
・ハノイの塔
・フェルマー数
・等差素数列
・ソモスの数列
・シルベスターの数列
・エジプト分数とカーティスの定理
・ファレイ数列
・フィボナッチ数列の性質
・カッシーニの公式
・ビネの公式
・ゼッケンドルフの定理
・フィボナッチ数列の加法定理、2倍公式
・フィボナッチ数列、リュカ数列の加法定理
・フィボナッチ数列に似た数列（トリボナッチ数列など）
・ペラン数列
・モーザー数列
・look-and-say数列
・リュカ数列
・ベルヌーイの不等式
・ヨセフスの問題
・p角数と多角数定理
・フォンタナの三角形
・等比数列の和と逆数和と積の関係
・メルセンヌ素数と偶数の完全数
・友愛数とオイラーの法則
・ペル方程式
・平方三角数とペル方程式
・ピタゴラス変換
・p角錐数
・並べ替え不等式
・整数部分に関するΣ
・整数の組と整数の対応
・シュタイナーの分割問題
・円周による平面分割
・最短往復数
・バーゼル問題
・汎調和級数
・アペリーの定数
・線形漸化式
・二分木の巡回セールスマン問題
・ランダムウォーク
・ギャンブラーの破産問題
・完全順列
・差分方程式と微分方程式
・行列を用いた漸化式
・z変換
・Kermack-McKendrickのSIRモデル
・ペアノの公理と数学的帰納法
・数学的帰納法の応用例
・n乗和の公式の視覚的イメージ
・攪乱順列の漸化式

問題解説

入試問題や大会問題として出題された問題の解説です。

・共通一次、センター試験、共通テストの数列問題
・東京大学の数列問題
・京都大学の数列問題
・大阪大学の数列問題
・北海道大学の数列問題
・東北大学の数列問題
・名古屋大学の数列問題
・九州大学の数列問題
・一橋大学の数列問題
・東京工業大学の数列問題
・東京医科歯科大学の数列問題
・慶應義塾大学の数列問題
・早稲田大学の数列問題
・その他の大学の数列問題
・日本数学オリンピック予選の数列問題
・日本数学オリンピック本選の数列問題
・国際数学オリンピックの数列問題
・ショートリストプロブレムの数列問題
・その他の大会の数列問題