数列分野の全体像

数列分野について

数列分野は「数列とその和」と「漸化式と数学的帰納法」に分かれていて、前者は「等差数列と等比数列」および「いろいろな数列」が、後者は「漸化式と数列」および「数学的帰納法」が含まれます。

数列とその和

等差数列と等比数列

数列の一般項の意味を理解した上で、等差数列・等比数列の一般項の求め方、また数列の和の求め方を理解することが必要です。

続いて等差数列、等比数列が身の回りにおける問題の解決手段となるのを理解しましょう。複利計算はその代表例と言えます。

いろいろな数列

等差数列、等比数列を学んだ後は、階差数列の概念を学びます。階差数列が等差数列・等比数列になる場合の一般項の求め方を理解しましょう。また、その際に\sumを用いた計算を学びます。特に\sum_{k=1}^n k、\sum_{k=1}^n k^2、\sum_{k=1}^n k^3の公式を覚えましょう。発展的ではありますが、\sum_{k=1}^n k \times r^kも計算できるようになりましょう。

漸化式と数学的帰納法

漸化式と数列

まずは漸化式の意味を理解し、簡単な漸化式について数列の一般項を求められるようになりましょう。簡単な漸化式はいくつかのパターンに類別されるので、各パターンに対する解き方を理解することが重要となってきます。

また、確率や場合の数などを求めるときに漸化式を用いて考えるのは有用な手法です。これについても併せて勉強しましょう。例えば、「ハノイの塔」に関する問題がその一例です。

数学的帰納法

数学的帰納法は、離散的な数、特に自然数nに関する命題を証明する上で重要なテクニックです。まずは、数学的帰納法の意味と手法、また簡単な命題に対する適応を勉強しましょう。また、「おととい」帰納法などの特殊な数学的帰納法についても学習すると良いでしょう。

また、漸化式の一般項を求める上でも、一般項を推定した上で数学的帰納法により証明するという手法は役に立つので使えるようになりましょう。