ベクトル（数C）計算問題１（解答なし）

問1. 次の問いに答えよ。

三角形 ABC において辺 AB を 1:3 に内分する点を D 、辺 AC を 3:2 に内分する点を E とする。直線 CD と直線 BE の交点を F とする。


(1) DF:FC および BF:FE を求めよ。

(2) \overrightarrow{AF} を \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} で表せ。

(3) 直線 AF と直線 BC の交点を G とする。AF:FG および BG:GC を求めよ。

問2. 次の問いに答えよ。

三角形 OCU において辺 OC において OA:AB:BC=1:1:2 に内分する点 A,B を、辺 OU において OS:ST:TU=1:2:1 に内分する点 S,T を図のように定める。直線 AT と直線 BS の交点を X 、直線 BU と直線 CT の交点を Y 、直線 CS と直線 AU の交点を Z とする。


(1) \overrightarrow{OX},\overrightarrow{OY},\overrightarrow{OZ} を \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OS} で表せ。

(2) 三点 X, Y, Z が一直線上にあることを示せ。

問3. 次の問いに答えよ。

三角形 ABC は AB=3,\, BC=5,\, CA=7 を 満たす。三角形 ABC の内心を点 I とする。

(1) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} を求めよ。

2) \overrightarrow{AI} を \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} で表せ。

(3) 線分 AI の長さを求めよ。

(4) 直線 BC に関して、点 I と対称な点を点 J とする。\overrightarrow{AJ} を \overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{AC} で表せ。