微分（数II）計算問題1（解答なし）

問題

問1. 以下の関数を x について微分せよ。

(1) y=x^3-4x

(2) y=x^{2n}+x^{n-1} （ n は自然数）

(3) y=(3x+2)^5

(4) y=(2x+1)(3x-2)+(4x+1)(x+2)

問2. 以下の関数 y=f(x) について、(　)内の x 座標での接線を求めよ。

(1) y=x^3-4x (x=3)

(2) y=x^{2n}+x^{n-1} (x=1) （ n は自然数）

(3) y=x^3-3x^2+x-1 (x=t)

問3. 以下の問いに答えよ。

(1) 関数 y=2x^3-6x+1 のグラフを書け。

(2) 方程式 x+k=2x^3-5x+1 が、正の実数解をちょうど 1 個もつときの kの範囲を答えよ。

問4. 以下の問いに答えよ。

(1) 関数 y=x^3-3x^2+ax+b が x=-1 で極大値 3 を持つとき、 a, b の値を求めよ。

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解答

問1. 以下の関数を x について微分せよ。

(1) y=x^3-4x
y'=3x^2-4

(2) y=x^{2n}+x^{n-1} （ n は自然数）
n\geqq 2 のとき、y'=2nx^{2n-1}-\left(n-1\right)x^{n-2} である。また、これは n=1 でも成立する。よって、
y'=2nx^{2n-1}-\left(n-1\right)x^{n-2}

(3) y=(3x+2)^5
y'=15(3x+2)^4

(4) y=(2x+1)(3x-2)+(4x+1)(x+2)
y'=2(3x-2)+3(2x+1)+4(x+2)+(4x+1) より、
y'=20x+8
y=10x^2+8x より求めても良い。

問2. 以下の関数 y=f(x) について、(　)内の x 座標での接線を求めよ。

(1) y=x^3-4x (x=3)
y'=3x^2-4 より x=3 での接線の傾きは 27-4=23 である。
また、x=3 での y 座標は、 27-12=15 である。
したがって、接線は、
y=23(x-3)+15
y=23x-54 である。

(2) y=x^{2n}+x^{n-1} (x=1) （ n は自然数）
y'=nx^{2n-1}-\left(n-1\right)x^{n-2} より x=1 での接線の傾きは
n-(n-1)=1
である。
また、x=1 での y 座標は、 1+1=2 である。
したがって、接線は、
y=(x-1)+2
y=x+1 である。

(3) y=x^3-3x^2+x-1 (x=t)
y'=3x^2-6x+1 より x=t での接線の傾きは 3t^2-6t+1 である。
また、x=t での y 座標は、 t^3-3t^2+t-1 である。
したがって、接線は、
y=(3t^2-6t+1)(x-t)+t^3-3t^2+t-1
y=(3t^2-6t+1)x-2t^3+3t^2-1 である。

問4. 以下の問いに答えよ。

(1) 関数 y=x^3-3x^2+ax+b が x=-1 で極大値 3 を持つとき、 a, b の値を求めよ。

y=f(x)=x^3-3x^2+ax+b とする。
x=-1 で極大値を持つので、 f'(-1)=0 が必要である。
f'(x)=3x^2-6x+a より、
f'(-1)=3+6+a=0
a=-9 である。
またこのとき、f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3) より、確かにx=-1 で極大値、x=3 で極小値を持つ。
f(-1)=-1-3+9+b=3 より、
b=-2 である。