微分（数II）計算問題1（解答なし）

問題

問1. 以下の関数を $x$ について微分せよ。

(1) $y=x^3-4x$

(2) $y=x^{2n}+x^{n-1}$ （ $n$ は自然数）

(3) $y=(3x+2)^5$

(4) $y=(2x+1)(3x-2)+(4x+1)(x+2)$

問2. 以下の関数 $y=f(x)$ について、(　)内の $x$ 座標での接線を求めよ。

(1) $y=x^3-4x$ $(x=3)$

(2) $y=x^{2n}+x^{n-1}$ $(x=1)$ （ $n$ は自然数）

(3) $y=x^3-3x^2+x-1$ $(x=t)$

問3. 以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $y=2x^3-6x+1$ のグラフを書け。

(2) 方程式 $x+k=2x^3-5x+1$ が、正の実数解をちょうど $1$ 個もつときの $k$の範囲を答えよ。

問4. 以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $y=x^3-3x^2+ax+b$ が $x=-1$ で極大値 $3$ を持つとき、 $a, b$ の値を求めよ。

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解答

問1. 以下の関数を $x$ について微分せよ。

(1) $y=x^3-4x$
$y'=3x^2-4$

(2) $y=x^{2n}+x^{n-1}$ （ $n$ は自然数）
$n\geqq 2$ のとき、$y'=2nx^{2n-1}-\left(n-1\right)x^{n-2}$ である。また、これは $n=1$ でも成立する。よって、
$y'=2nx^{2n-1}-\left(n-1\right)x^{n-2}$

(3) $y=(3x+2)^5$
$y'=15(3x+2)^4$

(4) $y=(2x+1)(3x-2)+(4x+1)(x+2)$
$y'=2(3x-2)+3(2x+1)+4(x+2)+(4x+1)$ より、
$y'=20x+8$
$y=10x^2+8x$ より求めても良い。

問2. 以下の関数 $y=f(x)$ について、(　)内の $x$ 座標での接線を求めよ。

(1) $y=x^3-4x$ $(x=3)$
$y'=3x^2-4$ より $x=3$ での接線の傾きは $27-4=23$ である。
また、$x=3$ での $y$ 座標は、 $27-12=15$ である。
したがって、接線は、
$y=23(x-3)+15$
$y=23x-54$ である。

(2) $y=x^{2n}+x^{n-1}$ $(x=1)$ （ $n$ は自然数）
$y'=nx^{2n-1}-\left(n-1\right)x^{n-2}$ より $x=1$ での接線の傾きは
$n-(n-1)=1$
である。
また、$x=1$ での $y$ 座標は、 $1+1=2$ である。
したがって、接線は、
$y=(x-1)+2$
$y=x+1$ である。

(3) $y=x^3-3x^2+x-1$ $(x=t)$
$y'=3x^2-6x+1$ より $x=t$ での接線の傾きは $3t^2-6t+1$ である。
また、$x=t$ での $y$ 座標は、 $t^3-3t^2+t-1$ である。
したがって、接線は、
$y=(3t^2-6t+1)(x-t)+t^3-3t^2+t-1$
$y=(3t^2-6t+1)x-2t^3+3t^2-1$ である。

問4. 以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $y=x^3-3x^2+ax+b$ が $x=-1$ で極大値 $3$ を持つとき、 $a, b$ の値を求めよ。

$y=f(x)=x^3-3x^2+ax+b$ とする。
$x=-1$ で極大値を持つので、 $f'(-1)=0$ が必要である。
$f'(x)=3x^2-6x+a$ より、
$f'(-1)=3+6+a=0$
$a=-9$ である。
またこのとき、$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ より、確かに$x=-1$ で極大値、$x=3$ で極小値を持つ。
$f(-1)=-1-3+9+b=3$ より、
$b=-2$ である。